2024년 1학년 2학기 기말고사

두 집합 에 대하여 집합 의 모든 원소의 합을 구하시오.

다음 명제의 대우를 구하시오. 이면 이고 이다.

명의 동아리 회원 중에서 대표 명과 총무 명을 임의로 뽑아 정하는 경우의 수를 구하시오.

한 레스토랑에서 메뉴를 주문하려고 한다. 피자 메뉴 가지, 파스타 메뉴 가지가 있다. 이 중에서 서로 다른 피자 가지와 서로 다른 파스타 가지를 선택하여 주문하는 경우의 수를 구하시오.

다음 중 역이 참인 명제는?

전체집합 의 두 부분집합 가 를 만족시킬 때, 의 값을 구하시오.

두 등식 를 각각 만족하는 두 자연수 에 대하여 의 값을 구하시오.

전체 집합 의 두 원소 에 대하여 다음 명제 중 거짓인 것은?

가 실수일 때, 부등식 이 성립함을 증명하는 과정이다. 이므로 임을 보이면 된다. (가) (나) 이므로 이다. 따라서 이다. 등호는 (다) 일 때, 성립한다. 수식 (가) (나) (다)를 간단히 한 것은?

그림에서 개의 영역 가 서로 인접해 있다. 이 영역들을 가지 색을 사용하여 칠하려고 한다. 같은 색은 여러 번 사용할 수 있으나, 경계를 공유하는 두 영역은 서로 다른 색으로 칠해야 한다. 이때, 가능한 색칠 방법의 수를 구하시오.

숫자 이 각각 하나씩 적혀 있는 장의 카드가 있다. 이 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로 나열할 때, 양 끝에 놓인 두 수의 합이 이하가 되도록 하는 경우의 수를 구하시오.

가 이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아닌 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 는 실수) <보기> i. , ii. iii. 또는 iv. 또는

두 실수 에 대하여 는 일 때, 최솟값 를 갖는다. 단, 이다. 이때, 의 값을 구하시오.

남학생 명과 여학생 명이 앞줄 자리, 뒷줄 자리의 의자에 앉으려고 한다. 다음 조건을 모두 만족하도록 앉는 경우의 수를 구하시오.(i) 앞줄에는 여학생 명이 서로 이웃하여 앉고, 나머지 여학생은 뒷줄에서 이웃하여 앉는다. (ii) 남학생 명은 같은 줄에 앉는다. (단, 모든 학생은 서로 구별된다.)

가 실수일 때, 세 조건 이일 때, 는 이기 위한 충분조건이고, 는 이기 위한 필요 조건이다. 이때, 의 최댓값과 의 최댓값의 곱을 구하시오. (단, )

세 변의 길이가 자연수인 삼각형 가 있다. 세 변의 길이를 , , 라 할 때, 다음 조건을 만족한다. 이 조건을 만족하는 모든 순서쌍 의 개수를 구하시오. (단, 삼각형의 세 변의 길이는 삼각형의 성질을 만족해야 한다.)

다음 조건으로 월요일부터 일요일까지 7 일 동안 하루에 한 가지씩 운동하는 계획을 세우려고 한다. 운동 계획을 세우는 경우의 수는? (가) 3 일은 달리기를 한다. (나) 2 일은 수영을 하되 이틀 연속으로 하지 않는다. (다) 1 일은 배드민턴을 한다. (라) 1 일은 농구를 한다.

두 집합 는 이하의 자연수 는 와 서로소인 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 집합 의 개수를 구하시오. (i) (ii) (iii) 집합 의 모든 원소는 과 서로소이다.

집합 에 대하여 에서 로의 함수 중에서 의 모든 원소 에 대하여 를 만족하는 함수 의 개수를 구하시오.

숫자 이 각각 하나씩 적힌 장의 카드를 모두 사용하여 일렬로 나열할 때, 다음 조건을 만족하는 배열의 개수를 구하시오. (i). 숫자 가 숫자 과 사이에 위치한다. (ii). 숫자 이 숫자 와 사이에 위치한다. (단, ‘사이에 위치한다’는 것은 반드시 가운데에 온다는 의미이며, 인접하지 않아도 된다.)

집합 의 모든 원소의 합을 라고 할 때, 전체집합 의 공집합이 아닌 두 부분집합 가 다음 조건을 만족한다. (i) (ii) (iii) 의 값이 최소일 때, 집합 의 모든 원소의 합을 구하시오.