아래 예시들을 문제/해설(TeX) 입력창에 직접 타이핑해보세요.

1. 다항식 을 로 나눈 나머지가 일 때, 상수 의 값을 구하시오.

다항식 $x^{3}+a x^{2}-7$ 을 $x-2$ 로 나눈 나머지가 $17$ 일 때, 상수 $a$ 의 값을 구하시오.

$f(x)=x^{3}+a x^{2}-7$ 이라 하면 나머지정리에 의하여
$f(2)=8+4 a-7=17$
따라서 $a=4$

2. 이차방정식 의 의 두 근을 , 라고 할 때, 다음 식의 값을 구하시오.

이차방정식 $x^2 + x + 2 = 0$의 의 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\) 라고 할 때, 다음 식의 값을 구하시오. 
\[(\alpha - \beta)^2\]

이차방정식의 근과 계수의 관계에서 
\[\begin{aligned}
\alpha + \beta = -\frac{1}{1} = -1 \\
\alpha\beta = \frac{2}{1} = 2 \\
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
(\alpha - \beta) &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\
&= (-1)^2 -4 \times 2\\
&= -7\end{aligned}\]

3. 연립방정식

3. 연립방정식
$$\begin{cases}
x-y=3 \\
x^{2}-3 x y+2 y^{2}=6
\end{cases}$$
의 해가 $x=\alpha, \space y=\beta$ 일 때, $\alpha+\beta$ 의 값을 구하시오.

$\begin{cases}x-y=3 & \cdots \text{(i)} \\ x^{2}-3 x y+2 y^{2}=6 & \cdots \text{(ii)}\end{cases}$
(ii)에서 $(x-y)(x-2 y)=6$
$x-y=3$ 이므로 $x-2 y=2 \cdots\text{(iii)}$
(i), (iii)에서 $x=4$, $y=1$
따라서 $\alpha + \beta = 5$

4. 등식 가 성립함을 보이시오.

등식 $1+\tan^2\theta = \sec^2\theta$가 성립함을 보이시오.
\[\begin{aligned}
1+\tan^2\theta &= 1 + \dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\\ 
&=\dfrac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta} \\
&=\dfrac{1}{\cos^2\theta} = \sec^2\theta
\end{aligned}\]

5. 다음 두 수의 대소를 비교하시오.

다음 두 수의 대소를 비교하시오.
\[\sqrt[3]4, \quad \sqrt[7]{16}\]

$\sqrt[3]{4} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$
$\sqrt[7]{16} = (2^3)^{\frac{1}{7}} = 2^{\frac{4}{7}}$
지수함수 $y = 2^x$은 $x$의 값이 증가하면 $y$의 값도 증가한다. 이때 $\dfrac{2}{3} \gt \dfrac{4}{7}$이므로 $2^{\frac{2}{3}} \gt 2^{\frac{4}{7}}$
따라서 $\sqrt[3]{4} \gt \sqrt[7]{16}$

6. 의 값을 구하시오.

$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 3} \dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}$ 의 값을 구하시오.

$\begin{aligned}
\displaystyle \lim _{x \rightarrow 3} \dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}-2} & =\displaystyle \lim _{x \rightarrow 3} \dfrac{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}{(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)} \\
& =\displaystyle \lim _{x \rightarrow 3} \dfrac{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}{(x+1)-4} \\
& =\displaystyle \lim _{x \rightarrow 3}(\sqrt{x+1}+2)=4
\end{aligned}$

7. 함수 에 대하여 일 때,
   의 값을 구하시오.

함수 $f(x)$에 대하여 $f^{\prime}(3)=-3$일 때, 
$\ba \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(3+2 \Delta x)-f(3)}{\Delta x} \ea$의 값을 구하시오.

$\begin{aligned}
&\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(3+ 2 \Delta x)-f(3)}{\Delta x}\\
& =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(3+2 \Delta x)-f(3)}{2 \Delta x} \times 2 \\
& = 2 f^{\prime}(3) \\
& = 2 \times (-3) \\
& = -6
\end{aligned}$