일차방정식과 그 해

방정식과 그 해

등호를 사용하여 수량 사이의 관계를 나타낸 식을 등식이라고 한다.
이때 등식에서 등호의 왼쪽 부분을 좌변, 등호의 오른쪽 부분을 우변이라 하고, 좌변과 우변을 통틀어 양변이라고 한다.
예를 들어 '한 변의 길이가 인 정사각형의 둘레의 길이는 이다.'를 등식으로 나타내면


등식 의 에 , , , 를 각각 대입하여 등식이 참이 되는지, 즉 좌변과 우변의 값이 같은지 알아보면 다음과 같다.
의 값 좌변의 값 우변의 값 참, 거짓
거 짓
거 짓
참
거 짓
x의 값 좌변의 값 우변의 값 참, 거짓 1 3xx1+1=4 10 거 짓 2 3xx2+1=7 10 거 짓 3 3xx3+1=10 10 참 4 3xx4+1=13 10 거 짓
이와 같이 의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 에 대한 방정식이라고 한다.
이때 문자 를 그 방정식의 미지수, 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 그 방정식의 해 또는 근이라고 한다. 또 방정식의 해를 구하는 것을 방정식을 푼다고 한다.

한편 등식 는 에 어떠한 값을 대입하여도 항상 참이 된다. 이와 같이 모든 의 값에 대하여 항상 참이 되는 등식을 항등식이라고 한다.

등식의 성질

일 때
  1. 등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다.
  1. 등식의 양변에서 같은 수를 빼어도 등식은 성립한다.
  1. 등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다.
  1. 등식의 양변을 이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.
단

일차방정식

등식의 성질을 이용하여 등식의 한 변에 있는 항을 그 항의 부호를 바꾸어 다른 변으로 옮기는 것을 이항이라고 한다.

방정식 의 우변에 있는 항 를 좌변으로 이항하여 정리하면 이 된다. 이때 좌변 는 일차식이다.
이와 같이 등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리한 식이
일차식
의 꼴로 나타나는 방정식을 미지수가 개인 일차방정식 또는 간단히 일차방정식이라고 한다.