평행선과 선분의 길이의 비

삼각형에서 평행선 사이의 선분의 길이의 비

삼각형 에서 에 평행한 직선과 , 의 교점을 각각 , 라고 하면

와 에서
는공통동위각 이므로 이다.
이때 닮은 두 삼각형에서 대응하는 변의 길이의 비는 모두 같으므로
이다. 또 점 를 지나면서 에 평행한 직선과 의 교점을 라고 하면 와 에서
동위각동위각이므로 이다.

이때 닮은 두 삼각형에서 대응하는 변의 길이의 비는 모두 같으므로
이고, 는 평행사변형이므로 이다. 즉
이다.

한편 삼각형 에서 변 에 평행한 직선과 두 변 , 의 연장선의 교점을 각각 , 라고 할 때도 마찬가지로 이므로 같은 결과가 성립함을 알 수 있다.

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비

에서 변 , 또는 그 연장선 위에 각각 점 , 가 있을 때
이면

평행선 사이의 선분의 길이의 비

평행한 세 직선 , , 과 두 직선 , 의 교점을 각각 , , , , , 라고 하자.
이때 점 를 지나고 직선 에 평행한 직선과 직선 , 의 교점을 각각 , 라고 하면 에서 이므로
이다. 또 와 는 평행사변형이므로
이다. 따라서 이다.

평행선 사이의 선분의 길이의 비

평행한 세 직선이 다른 두 직선과 만날 때, 평행선 사이의 선분의 길이의 비는 같다.
즉 다음 그림에서 이면