도형의 닮음

닮은 도형

한 도형을 일정한 비율로 확대 또는 축소한 도형이 다른 도형과 합동일 때, 이 두 도형은 닮음관계에 있다고 한다. 또 닮음인 관계에 있는 두 도형을 닮은 도형이라고 한다. 즉 한 도형을 일정한 비율로 확대 또는 축소한 도형은 처음 도형과 닮은 도형이다.

다음 그림에서 를 배 확대한 도형이 와 합동이므로 두 삼각형 와 는 서로 닮은 도형이다.
이때 닮은 두 삼각형 와 에서
  • 점 와 점 , 점 와 점 , 점 와 는 각각 대응점,
  • 와 , 와 , 와 는 각각 대응변,
  • 와 , 와 , 와 는 각각 대응각
이라고 한다.

두 삼각형 와 가 닮은 도형일 때, 기호 을 사용하여 와 같이 나타낸다. 이때 두 도형의 꼭짓점은 대응하는 순서대로 쓴다.

평면도형에서 닮음의 성질

닮은 두 평면도형에서
  1. 대응하는 변의 길이의 비는 일정하다.
  2. 대응하는 각의 크기는 각각 같다.

입체도형에서 닮음의 성질

서로 닮은 두 입체도형에서
  1. 대응하는 모서리의 길이의 비는 일정하다.
  2. 대응하는 면은 서로 닮은 도형이다.
한 입체도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소한 도형이 다른 도형과 모양과 크기가 같을 때, 이 두 입체도형은 서로 닮음인 관계가 있다고 한다. 또 서로 닮음인 관계가 있는 두 입체도형을 닮은 도형이라고 한다.
예를 들어 다음 그림에서 직육면체 는 직육면체 를 배 확대하여 그린 것이다. 따라서 두 직육면체 와 는 서로 닮은 도형이고, 닮음비는 대응하는 모서리의 길이의 비인 이다. 이때 대응하는 면은 서로 닮은 도형이다.


닮음비와 넓이의 비, 부피의 비 사이의 관계

닮은 두 평면도형에서 대응하는 변의 길이의 비를 닮음비라고 한다.

서로 닮은 두 평면도형의 넓이의 비

  • 서로 닮은 두 평면도형의 닮음비가 이면 넓이의 비는 이다.
  • 두 원은 항상 닮은 도형이고, 닮음비는 두 원의 반지름의 길이의 비이다.

닮음비가 인 서로 닮은 두 직사각형의 넓이의 비를 구해 보자.
다음 그림에서 직사각형 의 가로와 세로의 길이를 각각 , 라 하고, 직사각형 의 가로와 세로의 길이를 각각 , 라고 하면 두 직사각형의 닮음비는 이다.

이때 와 의 넓이는 각각 , 이다.
따라서 서로 닮은 두 직사각형의 닮음비가 이면 넓이의 비는 이다.

서로 닮은 두 입체도형의 부피의 비

서로 닮은 두 입체도형의 닮음비가 이면 부피의 비는 이다.
닮음비가 인 서로 닮은 두 직육면체의 부피의 비를 구해 보자.
다음 그림에서 직육면체 의 가로와 세로의 길이, 높이를 각각 , , 라 하고, 직육면체 의 가로와 세로의 길이, 높이를 각각 , , 라고 하면 두 직육면체의 닮음비는 이다.

이때 직육면체 와 직육면체 의 부피는 각각 , 이다.
따라서 서로 닮은 두 직육면체의 닮음비가 이면 부피의 비는 이다.