와 같이 두 수의 순서를 바꾸어 곱하여도 그 결과는 같다. 이것을 곱셈의 교환법칙이라고 한다.
또 세 수 , , 의 곱셈에서는
와 같이 어느 두 수를 먼저 곱하여도 그 결과는 같다. 이것을 곱셈의 결합법칙이라고 한다.
곱셈의 연산법칙
세 수 , , 에 대하여
곱셈의 교환법칙:
곱셈의 결합법칙:
세 개 이상의 수의 곱셈은 교환법칙과 결합법칙을 이용하여 곱하는 수의 순서를 바꾸어 계산하면 편리한 경우가 있다. 예를 들면
이 아닌 여러 개의 수를 곱할 때, 곱의 부호는 음수가 하나도 없거나 짝수 개 있으면 , 홀수 개 있으면 이다.
따라서 세 개 이상의 수를 곱할 때는 먼저 곱의 부호를 정하고, 각 수의 절댓값의 곱에 그 부호를 붙여서 계산한다.
또 거듭제곱이 섞여 있을 때에는 보통 거듭제곱을 먼저 계산한다.
분배법칙
이와 같이 어떤 수에 두 수의 합을 곱한 것은 어떤 수에 각각의 수를 곱하여 더한 것과 같다. 이것을 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙이라고 한다.
분배법칙
세 수 , , 에 대하여
정수와 유리수의 나눗셈
이므로 이다.
이와 같은 자연수의 곱셈과 나눗셈 사이의 관계가 정수에서도 성립한다.
부호가 같은 두 정수의 나눗셈의 몫은 두 정수의 절댓값의 나눗셈의 몫에 양의 부호 를 붙인 것과 같다.
또 부호가 다른 두 정수의 나눗셈의 몫은 두 정수의 절댓값의 나눗셈의 몫에 음의 부호 를 붙인 것과 같다.
유리수의 나눗셈
부호가 같은 두 수의 나눗셈은 두 수의 절댓값의 나눗셈의 몫에 양의 부호 를 붙여서 계산한다.
부호가 다른 두 수의 나눗셈은 두 수의 절댓값의 나눗셈의 몫에 음의 부호 를 붙여서 계산한다.
을 이 아닌 수로 나누면 그 몫은 항상 이다.
역수
두 수의 곱이 이 될 때, 한 수를 다른 수의 역수라고 한다.
역수를 이용하면 나눗셈을 곱셈으로 바꾸어 계산할 수 있다. 예를 들어
덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 섞인 계산
일반적으로 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 섞인 계산은 다음과 같이 한다.
거듭제곱이 있으면 거듭제곱을 먼저 계산한다.
괄호가 있으면 괄호 안을 먼저 계산한다. 이때 소괄호, 중괄호, 대괄호의 순서로 계산한다.