함수

역함수

1. 역함수
1. 함수 가 일대일대응일 때, 집합 의 각 원소 에 대하여 인 집합 의 원소 가 오직 하나씩 존재한다.
   이때 의 각 원소 에 인 의 원소 를 대응시키면 를 정의역, 를 공역으로 하는 새로운 함수를 정의할 수 있다.
   이 함수를 를 역함수라 하고 기호로 와 같이 나타낸다.
   
   
2. 역함수가 존재할 조건
   함수 의 역함수 가 존재할 필요충분조건은 가 일대일대응인 것이다.


2. 역함수 구하기
   함수를 나타낼 때는 일반적으로 정의역의 원소를 치역의 원소를 로 나타내므로 함수 의 역함수 도 와 로 서로 바꾸어 와 같이 나타낸다.
   이때 함수 의 역함수 는 다음과 같은 순서로 구한다.
1. 주어진 함수가 일대일대응인지를 확인한다.
2. 를 에 대하여 푼다. 즉, 의 꼴로 나타낸다.
3. 에서 와 를 서로 바꾸어 로 나타낸다.
   이때 함수 의 치역이 역함수 의 정의역이 되고, 함수 의 정의역이 역함수 의 치역이 된다.


3. 역함수의 성질
1. 함수 가 일대일대응일 때, 그 역함수 에 대하여
1. 의 역함수
2. 즉 는 에서의 항등함수
   즉 는 에서의 항등함수
2. 두 함수 에 대하여
   
3. 세 함수 가 모두 일대일대응이고 그 역함수가 각각 일 때,


4. 함수 와 그 역함수 를 합성한 결과는 항등함수이다.
5. 함수 와 합성한 결과가 항등함수인 함수는 의 역함수이다.
6. 에서 일반적으로 이므로 이다.
   
   
7. 역함수의 그래프
   함수 의 그래프와 그 역함수 의 그래프는 직선 에 대하여 대칭이다.
   
   [설명] 함수 의 역함수 가 존재할 때, 함수 의 그래프 위의 임의의 점 에 대하여 가 성립하므로 점 는 역함수 의 그래프 위의 점이다.
   
   
   이때 점 와 점 는 직선 에 대하여 대칭이므로 함수 의 그래프와 그 역함수 의 그래프는 직선 에 대하여 대칭이다.