이차방정식의 근과 계수의 관계

  1. 이차방정식의 근과 계수의 관계
    1. 이차방정식 의 두 근을 , 라 하면
    2. 두 수를 근으로 하는 이차방정식
      두 수 , 를 근으로 하고 의 계수가 인 이차방정식은
  2. 이차식의 인수분해
    이차방정식 의 두 근을 , 라 하면

    계수가 실수인 이차식은 복소수의 범위에서 항상 두 일차식의 곱으로 인수분해할 수 있다.

  3. 이차방정식의 켤레근
    이차방정식 에서
    1. , , 가 유리수일 때, 이 근이면 도 근이다.
      (단, , 는 유리수, 은 무리수)
    2. , , 가 실수일 때, 가 근이면 도 근이다.
      (단, , 는 실수, )
    3. 과 , 와 는 각각 켤레근이라 한다.

예제 1. 이차방정식 의 두 근을 라 할 때, 의 값은?

 해설
근과 계수와의 관계에 의하여
,
주어진 식을 변형하여 위에서 구한 값을 대입한다.
[다른풀이]
두 근이 이므로 라 할 수 있다.
따라서 구하고자 하는 값은 방정식에 을 대입한 값과 같다.

예제 2. 이차방정식 의 한 근이 일 때, 실수 에 대하여 의 값을 구하시오.

 해설
계수가 실수인 이차방정식의 한 근이 이므로 다른 근은 이다.
근과 계수와의 관계에 의하여 ,
따라서