원과 직선이 한 점에서 만날 때, 이 직선은 원에 접한다고 한다. 이때 이 직선을 원의 접선이라 하고, 접선이 원과 만나는 점을 접점이라고 한다. 또 원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름과 수직이다.

1. 삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점(내심)에서 만난다.
2. 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 모두 같다.

[설명]
에서 와 의 이등분선의 교점을 라 하고 점 에서 , , 에 내린 수선의 발을 각각 , , 라고 하자.

점 는 , 의 이등분선 위의 점이므로 이다.

이때 를 그으면 와 에서 이다. (2), (3), (4)에서 이다. 즉 이므로 는 의 이등분선이다. 따라서 의 세 내각의 이등분선은 한 점 에서 만난다.

한편 (1)에서 이므로 점 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원을 그리면 이 원은 와 세 변과 각각 점 , , 에서 접한다.

이와 같이 원 가 삼각형 의 모든 변에 접할 때, 원 는 삼각형 에 내접한다고 한다. 또 원 를 삼각형 의 내접원이라 하며 내접원의 중심 를 삼각형 의 내심이라고 한다.

1. 삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점(외심)에서 만난다.
2. 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 모두 같다.

[설명]
에서 와 의 수직이등분선의 교점을 라고 하자.

점 는 와 의 수직이등분선 위의 점이므로

이다.

이때 점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하면 와 에서 이다. (2), (3), (4)에서 이다.

즉 이므로 는 의 수직이등분선이다. 따라서 의 세 변의 수직이등분선은 한 점 에서 만난다.

한편 (1)에서 이므로 점 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원을 그리면 이 원은 의 세 꼭짓점을 모두 지난다.
이와 같이 삼각형 의 모든 꼭짓점이 원 위에 있을 때 원 는 삼각형 에 외접한다고 한다. 또 원 를 삼각형 의 외접원이라 하며 외접원의 중심 를 삼각형 의 외심이라고 한다.