삼각함수의 그래프

주기함수(Periodic Functions)

주기함수란 일정 간격을 기준으로 함숫값이 반복되는 함수를 말한다.
일반적으로 주기함수를 다음과 같이 정의한다.

함수 의 정의역에 속하는 임의의 실수 에 대하여
를 만족시키는 이 아닌 상수 가 존재할 때, 함수 를 주기함수라 하고, 이러한 상수 의 값 중 최소인 양수를 그 함수의 주기(period) 라고 한다.
주기함수의 그래프는 주기마다 같은 모양이 반복된다.

사인함수 의 그래프

다음 그림과 같이 단위원과 각 를 나타내는 동경의 교점의 좌표를 라 하면 이므로 의 값은 점 의 좌표로 정해진다.
따라서 점 가 단위원 위를 움직일 때 순서쌍 를 좌표로 하는 점을 좌표평면 위에 나타내어 사인함수 의 그래프를 그리면 다음과 같다.
  • 함수 의 정의역은 실수 전체의 집합이고 치역은 이다.
  • 함수 의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 이다.
  • 그래프가 간격으로 그 모양이 반복되므로 임의의 실수 에 대하여
은정수가 성립한다. 따라서 함수 는 주기가 인 주기함수이다.
함수의 정의역의 원소는 보통 로 나타내므로 이제부터 사인함수 는 를 로 바꾸어 로 나타내기로 한다.

함수 의 성질

  1. 정의역은 실수 전체의 집합이다.
  2. 치역은
  3. 모든 실수에서 연속이다.
  4. 함수의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 즉
  5. ( 은 정수)이고 주기가 인 주기함수이다.

코사인함수 의 그래프

다음 그림과 같이 단위원과 각 를 나타내는 동경의 교점의 좌표를 라 하면 이므로 의 값은 점 의 좌표로 정해진다.
따라서 점 가 단위원 위를 움직일 때 순서쌍 를 좌표로 하는 점을 좌표평면 위에 나타내어 코사인함수 의 그래프를 그리면 다음과 같다.
  • 함수 의 정의역은 실수 전체의 집합이고 치역은 이다.
  • 함수 의 그래프는 축에 대하여 대칭이므로 이다.
  • 그래프가 간격으로 그 모양이 반복되므로 임의의 실수 에 대하여
은정수가 성립한다. 따라서 함수 는 주기가 인 주기함수이다.
코사인함수 에서도 마찬가지로 를 로 바꾸어 로 나타내기로 한다.

함수 의 성질

  1. 정의역은 실수 전체의 집합이다.
  2. 치역은
  3. 모든 실수에서 연속이다.
  4. 함수의 그래프는 축에 대하여 대칭이다. 즉
  5. ( 은 정수)이고 주기가 인 주기함수이다.

탄젠트함수 의 그래프

다음 그림과 같이 단위원과 각 를 나타내는 동경의 교점의 좌표를 라 하고 점 에서의 단위원의 접선 과 각 의 동경의 교점을 라고 하면
이다. 즉 의 값은 점 의 좌표로 정해진다.
따라서 점 가 단위원 위를 움직일 때 순서쌍 를 좌표로 하는 점을 좌표평면 위에 나타내어 탄젠트함수 의 그래프를 그리면 다음과 같다.
  • ( 은 정수)일 때, 각 를 나타내는 동경 는 축 위에 있으므로 의 값은 정의되지 않는다.
  • 함수 의 정의역은 ( 은 정수)를 제외한 실수 전체의 집합이고 치역은 실수 전체의 집합이다.
  • 직선 ( 은 정수)는 함수 의 그래프의 점근선이다.
  • 함수 의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 이다.
  • 그래프가 간격으로 그 모양이 반복되므로 임의의 실수 에 대하여
은정수가 성립한다. 따라서 함수 는 주기가 인 주기함수이다.
탄젠트함수 에서도 를 로 바꾸어 로 나타내기로 한다.

함수 의 성질

  1. 정의역은 ( 은 정수)가 아닌 실수 전체의 집합이다.
  2. 치역은 실수 전체의 집합이다.
  3. 함수의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 즉
  4. 주기가 인 주기함수이다.
  5. 그래프의 점근선은 직선 ( 은 정수)이다.