An ordered list of numbers following a specific rule or pattern.
특정한 규칙이나 패턴을 따르는 숫자들의 순서 있는 나열입니다.
Arithmetic Sequence 등차수열
A sequence in which each term is obtained by adding a constant difference to the previous term.
각 항이 이전 항에 일정한 차이를 더하여 얻어지는 수열입니다.
Common Difference 공차
The constant difference between consecutive terms in an arithmetic sequence.
등차수열에서 연속된 두 항 사이의 일정한 차이입니다.
Geometric Sequence 등비수열
A sequence in which each term is obtained by multiplying the previous term by a constant ratio.
각 항이 이전 항에 일정한 비율을 곱하여 얻어지는 수열입니다.
Common Ratio 공비
The constant ratio between consecutive terms in a geometric sequence.
등비수열에서 연속된 두 항 사이의 일정한 비율입니다.
Series 급수
The sum of the terms of a sequence.
수열의 항들을 더한 결과를 의미합니다.
Question 1:
문제 1:
The first term of an arithmetic sequence is , and the common difference is (). Given that: find the value of .
첫째항이이고 공차가 인 등차수열 에 대하여 일 때, 의 값은?
Explanation:
해설:
The general term of the arithmetic sequence is . Thus, .
등차수열 의 일반항은 따라서
Question 2:
문제 2:
For the geometric sequence , given the conditions: find the value of .
등비수열 에 대하여 일 때, 의 값은?
Explanation:
해설:
The sequence forms a geometric sequence with the frst term and common ratio . From this, we have: From the condition , we get: Using equation and , we find:
수열 은 첫항이 이고 공비가 인 등비수열이다. 에서 에서
Question 1: 문제 1:
The first term of an arithmetic sequence {a_(n)} is 1, and the common difference is d (d > 0). Given that: sum_(n=1)^(oo)((n)/(a_(n))-(n+1)/(a_(n+1)))=(2)/(3), find the value of d. 첫째항이1이고 공차가 d(d > 0)인 등차수열 {a_(n)}에 대하여 sum_(n=1)^(oo)((n)/(a_(n))-(n+1)/(a_(n+1)))=(2)/(3)일 때, d의 값은?
Explanation: 해설:
The general term of the arithmetic sequence {a_(n)} is a_(n)=1+(n-1)d."sum_(n=1)^(oo)((n)/(a_(n))-(n+1)/(a_(n+1)))
=lim_(n rarr oo)sum_(k=1)^(n)((k)/(a_(k))-(k+1)/(a_(k+1)))
=lim_(n rarr oo){((1)/(a_(1))-(2)/(a_(2)))+((2)/(a_(2))-(3)/(a_(3)))+cdots:}
quad{:+((n)/(a_(n))-(n+1)/(a_(n+1)))}
=lim_(n rarr oo)(1-(n+1)/(a_(n+1)))
=lim_(n rarr oo)(1-(n+1)/(dn+1))
=lim_(n rarr oo)(1-(1+(1)/(n))/(d+(1)/(n)))
=1-(1)/(d)=(2)/(3)" Thus, d=3. 등차수열 {a_(n)}의 일반항은 a_(n)=1+(n-1)d"sum_(n=1)^(oo)((n)/(a_(n))-(n+1)/(a_(n+1)))
=lim_(n rarr oo)sum_(k=1)^(n)((k)/(a_(k))-(k+1)/(a_(k+1)))
=lim_(n rarr oo){((1)/(a_(1))-(2)/(a_(2)))+((2)/(a_(2))-(3)/(a_(3)))+cdots:}
quad{:+((n)/(a_(n))-(n+1)/(a_(n+1)))}
=lim_(n rarr oo)(1-(n+1)/(a_(n+1)))
=lim_(n rarr oo)(1-(n+1)/(dn+1))
=lim_(n rarr oo)(1-(1+(1)/(n))/(d+(1)/(n)))
=1-(1)/(d)=(2)/(3)" 따라서 d=3
Question 2: 문제 2:
For the geometric sequence {a_(n)}, given the conditions: sum_(n=1)^(oo)a_(2n-1)-a_(2n)=3,quadsum_(n=1)^(oo)a_(n)^(2)=6, find the value of sum_(n=1)^(oo)a_(n). 등비수열 {a_(n)}에 대하여 sum_(n=1)^(oo)a_(2n-1)-a_(2n)=3,quadsum_(n=1)^(oo)a_(n)^(2)=6 일 때, sum_(n=1)^(oo)a_(n)의 값은?
Explanation: 해설:
The sequence {a_(2n-1)-a_(2n)} forms a geometric sequence with the frst term a-ar and common ratio r^(2). From this, we have: (a(1-r))/(1-r^(2))=(a)/(1+r)=3quad cdots("i") From the condition sum_(n=1)^(oo)a_(n)^(2)=6, we get: (a^(2))/(1-r^(2))=6quad cdots("ii") Using equation ("i") and ("ii"), we find: {:[(a)/(1-r)=2],[sum_(n=1)^(oo)a_(n)=(a)/(1-r)=2]:} 수열 {a_(2n-1)-a_(2n)}은 첫항이 a-ar이고 공비가 r^(2)인 등비수열이다. (a(1-r))/(1-r^(2))=(a)/(1+r)=3quad cdots("i") sum_(n=1)^(oo)a_(n)^(2)=6에서 (a^(2))/(1-r^(2))=6quad cdots("ii") ("i"),("ii")에서 {:[(a)/(1-r)=2],[sum_(n=1)^(oo)a_(n)=(a)/(1-r)=2]:}
Convergence 수렴
A property of a sequence or series where its terms approach a specific finite value as the number of terms increases.
수열이나 급수의 항들이 점점 하나의 유한한 값에 가까워지는 성질입니다.
Question 3:
문제 3:
For the convergent sequence , when find the value of .
수렴하는 수열 에 대하여 일 때 의 값을 구하시오.
Explanation:
해설:
Since the sequence is convergent, we know that: where is the limit of the sequence. Substituting and , the equation becomes:
수열 이 수렴하므로 라 하면
Question 3: 문제 3:
For the convergent sequence {a_(n)}, when lim_(n rarr oo)(-a_(n-3)-4)/(2a_(n-2)-4)=(5)/(2), find the value of lim_(n rarr oo)a_(n). 수렴하는 수열 {a_(n)}에 대하여 lim_(n rarr oo)(-a_(n-3)-4)/(2a_(n-2)-4)=(5)/(2)일 때 lim_(n rarr oo)a_(n)의 값을 구하시오.
Explanation: 해설:
Since the sequence {a_(n)} is convergent, we know that: {:[lim_(n rarr oo)a_(n)=lim_(n rarr oo)a_(n-1)],[quad=lim_(n rarr oo)a_(n-2)=lim_(n rarr oo)a_(n-3)=alpha","]:} where alpha is the limit of the sequence.<br> Substituting a_(n-3)rarr alpha and a_(n-2)rarr alpha, the equation becomes: {:[lim_(n rarr oo)(-a_(n-3)-4)/(2a_(n-2)-4)=(-alpha-4)/(2alpha-4)=(5)/(2)],[alpha=1],[lim_(n rarr oo)a_(n)=1]:} 수열 {a_(n)}이 수렴하므로 lim_(n rarr oo)=alpha라 하면 {:[lim_(n rarr oo)a_(n)=lim_(n rarr oo)a_(n-1)],[quad=lim_(n rarr oo)a_(n-2)=lim_(n rarr oo)a_(n-3)=alpha]:}{:[lim_(n rarr oo)(-a_(n-3)-4)/(2a_(n-2)-4)=(-alpha-4)/(2alpha-4)=(5)/(2)],[alpha=1],[lim_(n rarr oo)a_(n)=1]:}
Divergence 발산
A property of a sequence or series where its terms do not approach a specific finite value as the number of terms increases.
수열이나 급수의 항들이 특정한 유한한 값에 가까워지지 않는 성질입니다.
Infinite Sequence 무한수열
A sequence that continues indefinitely without an end.
끝이 없이 무한히 계속되는 수열입니다.
Infinite Series 무한급수
The sum of all terms of an infinite sequence.
무한한 수열의 모든 항을 더한 것입니다.
Infinite Geometric Series 무한등비급수
The sum of an infinite geometric sequence, which converges if the common ratio’s absolute value is less than 1.
공비의 절댓값이 1보다 작을 때 수렴하는 무한한 등비수열의 합입니다.
Partial Sum 부분합
The sum of the first terms of a sequence.
수열의 처음 개의 항을 더한 값입니다.
Nth Term 일반항
The formula that represents the -th term of a sequence.
수열의 번째 항을 나타내는 식입니다.
Summation Notation 시그마 표기법
A compact way to write the sum of terms in a sequence using the Greek letter .
수열의 항들의 합을 간단히 나타내기 위해 그리스 문자 를 사용하는 표기법입니다.
Arithmetic Mean 산술평균
The average of a set of numbers, calculated by dividing the sum of the numbers by their count.
숫자들의 합을 그 개수로 나누어 계산한 평균입니다.
Geometric Mean 기하평균
The -th root of the product of numbers.
개의 숫자를 곱한 값의 제곱근입니다.
Harmonic Sequence 조화수열
A sequence formed by the reciprocals of an arithmetic sequence.
등차수열의 역수를 이용해 구성된 수열입니다.
Power Series 멱급수
An infinite series in which each term contains a power of a variable.
변수의 거듭제곱으로 이루어진 무한급수입니다.
Question 4:
문제 4:
Find the sum of the series when the sum of the geometric series is .
등비급수 의 합이 일 때, 급수 의 합을 구하시오.
Explanation:
해설:
Since the sum of the geometric series is , Letting be the sum of the series , we get:If we multiply both sides of the above expression by , we get:If we compute , we get
등비급수 의 합이 이므로 급수 의 합을 로 놓으면 위의 식의 양변에 을 곱하면 를 하면
Question 4: 문제 4:
Find the sum of the series 1+2x+3x^(2)+4x^(3)+5x^(4)+cdots when the sum of the geometric series 1+x+x^(2)+x^(3)+x^(4)+cdots is 7. 등비급수 1+x+x^(2)+x^(3)+x^(4)+cdots의 합이 7일 때, 급수 1+2x+3x^(2)+4x^(3)+5x^(4)+cdots의 합을 구하시오.
Explanation: 해설:
Since the sum of the geometric series 1+x+x^(2)+x^(3)+x^(4)+cdots is 7, {:[(1)/(1-x)=7],[7-7x=1],[x=(6)/(7)]:} Letting S be the sum of the series 1+2x+3x^(2)+4x^(3)+5x^(4)+cdots, we get:S=1+2*(6)/(7)+3*((6)/(7))^(2)+4*((6)/(7))^(3)+cdotsquad cdots(i)If we multiply both sides of the above expression by (6)/(7), we get:(6)/(7)S=(6)/(7)+2*((6)/(7))^(2)+3*((6)/(7))^(3)+cdotsquad cdots(ii)If we compute (i)-(ii), we get "(1)/(7)S=1+(6)/(7)+((6)/(7))^(2)+((6)/(7))^(3)+((6)/(7))^(4)+cdots
(1)/(7)S=(1)/(1-(6)/(7))=7
S=49" 등비급수 1+x+x^(2)+x^(3)+x^(4)+cdots의 합이 7이므로 {:[(1)/(1-x)=7],[7-7x=1],[x=(6)/(7)]:} 급수 1+x+x^(2)+x^(3)+x^(4)+cdots의 합을 S로 놓으면S=1+2*(6)/(7)+3*((6)/(7))^(2)+4*((6)/(7))^(3)+cdotsquad cdots(i) 위의 식의 양변에 (6)/(7)을 곱하면 (6)/(7)S=(6)/(7)+2*((6)/(7))^(2)+3*((6)/(7))^(3)+cdotsquad cdots(ii) (i)-(ii)를 하면 "(1)/(7)S=1+(6)/(7)+((6)/(7))^(2)+((6)/(7))^(3)+((6)/(7))^(4)+cdots
(1)/(7)S=(1)/(1-(6)/(7))=7
S=49"
Convergent Series 수렴급수
A series that approaches a finite sum as the number of terms increases.
항의 수가 증가함에 따라 유한한 합으로 수렴하는 급수입니다.
Divergent Series 발산급수
A series that does not approach a finite sum as the number of terms increases.
항의 수가 증가함에 따라 유한한 합으로 수렴하지 않는 급수입니다.
Radius of Convergence 수렴반경
The distance within which a power series converges.
멱급수가 수렴하는 범위의 반지름입니다.
Binomial Series 이항급수
The expansion of as a power series.
의 멱급수로의 전개입니다.
Cauchy Sequence 코시 수열
A sequence where the difference between any two terms becomes arbitrarily small as the sequence progresses.
수열이 진행됨에 따라 임의의 두 항 사이의 차이가 무한히 작아지는 수열입니다.
Taylor Series 테일러 급수
A series expansion of a function about a point, where the terms are derived from the function’s derivatives.
주어진 함수를 정의역의 특정 점의 미분계수들을 계수로 하는 다항식의 극한(멱급수)으로 표현하는 것을 말합니다.