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  1. Sequence 수열
    • An ordered list of numbers following a specific rule or pattern.
    • 특정한 규칙이나 패턴을 따르는 숫자들의 순서 있는 나열입니다.
  2. Arithmetic Sequence 등차수열
    • A sequence in which each term is obtained by adding a constant difference to the previous term.
    • 각 항이 이전 항에 일정한 차이를 더하여 얻어지는 수열입니다.
  3. Common Difference 공차
    • The constant difference between consecutive terms in an arithmetic sequence.
    • 등차수열에서 연속된 두 항 사이의 일정한 차이입니다.
  4. Geometric Sequence 등비수열
    • A sequence in which each term is obtained by multiplying the previous term by a constant ratio.
    • 각 항이 이전 항에 일정한 비율을 곱하여 얻어지는 수열입니다.
  5. Common Ratio 공비
    • The constant ratio between consecutive terms in a geometric sequence.
    • 등비수열에서 연속된 두 항 사이의 일정한 비율입니다.
  6. Series 급수
    • The sum of the terms of a sequence.
    • 수열의 항들을 더한 결과를 의미합니다.

Question 1: 문제 1:
The first term of an arithmetic sequence is , and the common difference is ( ). Given that: find the value of . 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열 에 대하여 일 때, 의 값은?
Explanation: 해설:
The general term of the arithmetic sequence is . Thus, . 등차수열 의 일반항은 따라서
Question 2: 문제 2:
For the geometric sequence , given the conditions: find the value of . 등비수열 에 대하여 일 때, 의 값은?
Explanation: 해설:
The sequence forms a geometric sequence with the frst term and common ratio . From this, we have: From the condition , we get: Using equation and , we find: 수열 은 첫항이 이고 공비가 인 등비수열이다. 에서 에서
Question 1: 문제 1: The first term of an arithmetic sequence {a_(n)} is 1, and the common difference is d (d > 0). Given that: sum_(n=1)^(oo)((n)/(a_(n))-(n+1)/(a_(n+1)))=(2)/(3), find the value of d. 첫째항이1이고 공차가 d(d > 0)인 등차수열 {a_(n)}에 대하여 sum_(n=1)^(oo)((n)/(a_(n))-(n+1)/(a_(n+1)))=(2)/(3)일 때, d의 값은? Explanation: 해설: The general term of the arithmetic sequence {a_(n)} is a_(n)=1+(n-1)d."sum_(n=1)^(oo)((n)/(a_(n))-(n+1)/(a_(n+1))) =lim_(n rarr oo)sum_(k=1)^(n)((k)/(a_(k))-(k+1)/(a_(k+1))) =lim_(n rarr oo){((1)/(a_(1))-(2)/(a_(2)))+((2)/(a_(2))-(3)/(a_(3)))+cdots:} quad{:+((n)/(a_(n))-(n+1)/(a_(n+1)))} =lim_(n rarr oo)(1-(n+1)/(a_(n+1))) =lim_(n rarr oo)(1-(n+1)/(dn+1)) =lim_(n rarr oo)(1-(1+(1)/(n))/(d+(1)/(n))) =1-(1)/(d)=(2)/(3)" Thus, d=3. 등차수열 {a_(n)}의 일반항은 a_(n)=1+(n-1)d"sum_(n=1)^(oo)((n)/(a_(n))-(n+1)/(a_(n+1))) =lim_(n rarr oo)sum_(k=1)^(n)((k)/(a_(k))-(k+1)/(a_(k+1))) =lim_(n rarr oo){((1)/(a_(1))-(2)/(a_(2)))+((2)/(a_(2))-(3)/(a_(3)))+cdots:} quad{:+((n)/(a_(n))-(n+1)/(a_(n+1)))} =lim_(n rarr oo)(1-(n+1)/(a_(n+1))) =lim_(n rarr oo)(1-(n+1)/(dn+1)) =lim_(n rarr oo)(1-(1+(1)/(n))/(d+(1)/(n))) =1-(1)/(d)=(2)/(3)" 따라서 d=3 Question 2: 문제 2: For the geometric sequence {a_(n)}, given the conditions: sum_(n=1)^(oo)a_(2n-1)-a_(2n)=3,quadsum_(n=1)^(oo)a_(n)^(2)=6, find the value of sum_(n=1)^(oo)a_(n). 등비수열 {a_(n)}에 대하여 sum_(n=1)^(oo)a_(2n-1)-a_(2n)=3,quadsum_(n=1)^(oo)a_(n)^(2)=6 일 때, sum_(n=1)^(oo)a_(n)의 값은? Explanation: 해설: The sequence {a_(2n-1)-a_(2n)} forms a geometric sequence with the frst term a-ar and common ratio r^(2). From this, we have: (a(1-r))/(1-r^(2))=(a)/(1+r)=3quad cdots("i") From the condition sum_(n=1)^(oo)a_(n)^(2)=6, we get: (a^(2))/(1-r^(2))=6quad cdots("ii") Using equation ("i") and ("ii"), we find: {:[(a)/(1-r)=2],[sum_(n=1)^(oo)a_(n)=(a)/(1-r)=2]:} 수열 {a_(2n-1)-a_(2n)}은 첫항이 a-ar이고 공비가 r^(2)인 등비수열이다. (a(1-r))/(1-r^(2))=(a)/(1+r)=3quad cdots("i") sum_(n=1)^(oo)a_(n)^(2)=6에서 (a^(2))/(1-r^(2))=6quad cdots("ii") ("i"),("ii")에서 {:[(a)/(1-r)=2],[sum_(n=1)^(oo)a_(n)=(a)/(1-r)=2]:}

  1. Convergence 수렴
    • A property of a sequence or series where its terms approach a specific finite value as the number of terms increases.
    • 수열이나 급수의 항들이 점점 하나의 유한한 값에 가까워지는 성질입니다.

Question 3: 문제 3:
For the convergent sequence , when find the value of . 수렴하는 수열 에 대하여 일 때 의 값을 구하시오.
Explanation: 해설:
Since the sequence is convergent, we know that: where is the limit of the sequence.
Substituting and , the equation becomes: 		수열 이 수렴하므로 라 하면
Question 3: 문제 3: For the convergent sequence {a_(n)}, when lim_(n rarr oo)(-a_(n-3)-4)/(2a_(n-2)-4)=(5)/(2), find the value of lim_(n rarr oo)a_(n). 수렴하는 수열 {a_(n)}에 대하여 lim_(n rarr oo)(-a_(n-3)-4)/(2a_(n-2)-4)=(5)/(2)일 때 lim_(n rarr oo)a_(n)의 값을 구하시오. Explanation: 해설: Since the sequence {a_(n)} is convergent, we know that: {:[lim_(n rarr oo)a_(n)=lim_(n rarr oo)a_(n-1)],[quad=lim_(n rarr oo)a_(n-2)=lim_(n rarr oo)a_(n-3)=alpha","]:} where alpha is the limit of the sequence.<br> Substituting a_(n-3)rarr alpha and a_(n-2)rarr alpha, the equation becomes: {:[lim_(n rarr oo)(-a_(n-3)-4)/(2a_(n-2)-4)=(-alpha-4)/(2alpha-4)=(5)/(2)],[alpha=1],[lim_(n rarr oo)a_(n)=1]:} 수열 {a_(n)}이 수렴하므로 lim_(n rarr oo)=alpha라 하면 {:[lim_(n rarr oo)a_(n)=lim_(n rarr oo)a_(n-1)],[quad=lim_(n rarr oo)a_(n-2)=lim_(n rarr oo)a_(n-3)=alpha]:}{:[lim_(n rarr oo)(-a_(n-3)-4)/(2a_(n-2)-4)=(-alpha-4)/(2alpha-4)=(5)/(2)],[alpha=1],[lim_(n rarr oo)a_(n)=1]:}

  1. Divergence 발산
    • A property of a sequence or series where its terms do not approach a specific finite value as the number of terms increases.
    • 수열이나 급수의 항들이 특정한 유한한 값에 가까워지지 않는 성질입니다.
  2. Infinite Sequence 무한수열
    • A sequence that continues indefinitely without an end.
    • 끝이 없이 무한히 계속되는 수열입니다.
  3. Infinite Series 무한급수
    • The sum of all terms of an infinite sequence.
    • 무한한 수열의 모든 항을 더한 것입니다.
  4. Infinite Geometric Series 무한등비급수
    • The sum of an infinite geometric sequence, which converges if the common ratio’s absolute value is less than 1.
    • 공비의 절댓값이 1보다 작을 때 수렴하는 무한한 등비수열의 합입니다.
  5. Partial Sum 부분합
    • The sum of the first terms of a sequence.
    • 수열의 처음 개의 항을 더한 값입니다.
  6. Nth Term 일반항
    • The formula that represents the -th term of a sequence.
    • 수열의 번째 항을 나타내는 식입니다.
  7. Summation Notation 시그마 표기법
    • A compact way to write the sum of terms in a sequence using the Greek letter .
    • 수열의 항들의 합을 간단히 나타내기 위해 그리스 문자 를 사용하는 표기법입니다.
  8. Arithmetic Mean 산술평균
    • The average of a set of numbers, calculated by dividing the sum of the numbers by their count.
    • 숫자들의 합을 그 개수로 나누어 계산한 평균입니다.
  9. Geometric Mean 기하평균
    • The -th root of the product of numbers.
    • 개의 숫자를 곱한 값의 제곱근입니다.
  10. Harmonic Sequence 조화수열
    • A sequence formed by the reciprocals of an arithmetic sequence.
    • 등차수열의 역수를 이용해 구성된 수열입니다.
  11. Power Series 멱급수
    • An infinite series in which each term contains a power of a variable.
    • 변수의 거듭제곱으로 이루어진 무한급수입니다.

Question 4: 문제 4:
Find the sum of the series when the sum of the geometric series is . 등비급수 의 합이 일 때, 급수 의 합을 구하시오.
Explanation: 해설:
Since the sum of the geometric series is , Letting be the sum of the series , we get: If we multiply both sides of the above expression by , we get: If we compute , we get 등비급수 의 합이 이므로 급수 의 합을 로 놓으면 위의 식의 양변에 을 곱하면 를 하면
Question 4: 문제 4: Find the sum of the series 1+2x+3x^(2)+4x^(3)+5x^(4)+cdots when the sum of the geometric series 1+x+x^(2)+x^(3)+x^(4)+cdots is 7. 등비급수 1+x+x^(2)+x^(3)+x^(4)+cdots의 합이 7일 때, 급수 1+2x+3x^(2)+4x^(3)+5x^(4)+cdots의 합을 구하시오. Explanation: 해설: Since the sum of the geometric series 1+x+x^(2)+x^(3)+x^(4)+cdots is 7, {:[(1)/(1-x)=7],[7-7x=1],[x=(6)/(7)]:} Letting S be the sum of the series 1+2x+3x^(2)+4x^(3)+5x^(4)+cdots, we get:S=1+2*(6)/(7)+3*((6)/(7))^(2)+4*((6)/(7))^(3)+cdotsquad cdots(i)If we multiply both sides of the above expression by (6)/(7), we get:(6)/(7)S=(6)/(7)+2*((6)/(7))^(2)+3*((6)/(7))^(3)+cdotsquad cdots(ii)If we compute (i)-(ii), we get "(1)/(7)S=1+(6)/(7)+((6)/(7))^(2)+((6)/(7))^(3)+((6)/(7))^(4)+cdots (1)/(7)S=(1)/(1-(6)/(7))=7 S=49" 등비급수 1+x+x^(2)+x^(3)+x^(4)+cdots의 합이 7이므로 {:[(1)/(1-x)=7],[7-7x=1],[x=(6)/(7)]:} 급수 1+x+x^(2)+x^(3)+x^(4)+cdots의 합을 S로 놓으면S=1+2*(6)/(7)+3*((6)/(7))^(2)+4*((6)/(7))^(3)+cdotsquad cdots(i) 위의 식의 양변에 (6)/(7)을 곱하면 (6)/(7)S=(6)/(7)+2*((6)/(7))^(2)+3*((6)/(7))^(3)+cdotsquad cdots(ii) (i)-(ii)를 하면 "(1)/(7)S=1+(6)/(7)+((6)/(7))^(2)+((6)/(7))^(3)+((6)/(7))^(4)+cdots (1)/(7)S=(1)/(1-(6)/(7))=7 S=49"

  1. Convergent Series 수렴급수
    • A series that approaches a finite sum as the number of terms increases.
    • 항의 수가 증가함에 따라 유한한 합으로 수렴하는 급수입니다.
  2. Divergent Series 발산급수
    • A series that does not approach a finite sum as the number of terms increases.
    • 항의 수가 증가함에 따라 유한한 합으로 수렴하지 않는 급수입니다.
  3. Radius of Convergence 수렴반경
    • The distance within which a power series converges.
    • 멱급수가 수렴하는 범위의 반지름입니다.
  4. Binomial Series 이항급수
    • The expansion of as a power series.
    • 의 멱급수로의 전개입니다.
  5. Cauchy Sequence 코시 수열
    • A sequence where the difference between any two terms becomes arbitrarily small as the sequence progresses.
    • 수열이 진행됨에 따라 임의의 두 항 사이의 차이가 무한히 작아지는 수열입니다.
  6. Taylor Series 테일러 급수
    • A series expansion of a function about a point, where the terms are derived from the function’s derivatives.
    • 주어진 함수를 정의역의 특정 점의 미분계수들을 계수로 하는 다항식의 극한(멱급수)으로 표현하는 것을 말합니다.
  7. Maclaurin Series 맥클로린 급수
    • A Taylor series expansion about .
    • 에서의 테일러 급수 전개입니다.
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